Question

19．對任意復數(shù)z=x+yi（x、y∈R），定義g（z）=3^x（cosy+isiny）．
（1）若g（z）=3，求相應的復數(shù)z；
（2）計算g（2+$\frac{π}{4}$i），g（-1+$\frac{π}{4}$i），g（1+$\frac{π}{2}$i）并構造它們之間的一個等式，由此發(fā)現(xiàn)一個更一般的等式，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由新定義得$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}•cosy=3}\\{{3}^{x}siny=0}\end{array}\right.$，由此能求出相應的復數(shù)z．
（2）分別求出g（2+$\frac{π}{4}i$i）、g（-1+$\frac{π}{4}$i）和g（1+$\frac{π}{2}$i），由此能求出g（2+$\frac{π}{4}$i）•g（-1+$\frac{π}{4}$i）=g（1+$\frac{π}{2}$i）．由此發(fā)現(xiàn)一個更一般的等式為：g（b+2kπ）=g（b），利用三角函數(shù)性質(zhì)進行證明．

解答 解：（1）∵對任意復數(shù)z=x+yi（x、y∈R），定義g（z）=3^x（cosy+isiny），g（z）=3，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}•cosy=3}\\{{3}^{x}siny=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{cosy=1}\\{{3}^{x}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
∴z=1+2kπi，k∈Z．
（2）∵g（2+$\frac{π}{4}i$i）=9（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$i），
g（-1+$\frac{π}{4}$i）=$\frac{1}{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$i），
g（1+$\frac{π}{2}$i）=3i，
∴g（2+$\frac{π}{4}$i）•g（-1+$\frac{π}{4}$i）=g（1+$\frac{π}{2}$i）．
由此發(fā)現(xiàn)一個更一般的等式為：g（b+2kπ）=g（b）．
證明如下：
∵$\left\{\begin{array}{l}{cos（b+2kπ）=cosb}\\{sin（b+2kπ）=sinb}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{a}cos（b+2kπ）={3}^{a}cosb}\\{{3}^{a}sin（b+2kπ）={3}^{a}sinb}\end{array}\right.$，
∴g（b+2kπ）=g（b）．

點評 將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究是解決復數(shù)問題的一種重要思想方法，而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁是復數(shù)相等的條件．此外本題涉及到三角函數(shù)的運算．