Question

1．求y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的反函數，并求出兩個函數的定義域與值域，通過對定義域與值域的比較，你能得出一些什么結論．

Answer 1

分析 先求出y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的反函數，再由分母不為0，求出原函數和反函數的定義域，然后利用分離變量法求出原函數和反函數的值域，由此能得到原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的值域是反函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$的定義域，原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的定義域是反函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$的值域．

解答 解：∵函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0），∴x=$\frac{b-dy}{cy-a}$，
x，y互換，得函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的反函數為y=$\frac{b-dx}{cx-a}$，
在原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$中，cx+d≠0，解得原函數的定義域為$\{x|x≠-\fracea9hadf{c}\}$，
y=$\frac{ax+b}{cx+d}$=$\frac{\frac{a}{c}x+\frac{c}}{x+\fracka5zsa3{c}}$=$\frac{\frac{a}{c}（x+\fracbntvsnp{c}）+\frac{c}-\frac{ad}{{c}^{2}}}{x+\frac6dhvnid{c}}$=$\frac{a}{c}$+$\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$，
若b=$\frac{ad}{c}$，則y=$\frac{a}{c}$是常函數，若b≠$\frac{ad}{c}$，由于分母不為0，∴原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$的值域為{y|y≠$\frac{a}{c}$}；
反函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$中，cx-a≠0，解得反函數的定義域為{x|x≠$\frac{a}{c}$}，
y=$\frac{b-dx}{cx-a}$=$\frac{-\fracvc98sz5{c}x+\frac{c}}{x-\frac{a}{c}}$=$\frac{-\fracsi45sx0{c}（x-\frac{a}{c}）+\frac{c}-\frac{ad}{{c}^{2}}}{x-\frac{a}{c}}$=-$\fracrzoqbjn{c}$+$\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx-a}$，
若$b=\frac{ad}{c}$，則y=-$\fraci6w9pla{c}$是常函數，若$b≠\frac{ad}{c}$，由于分母不為0，∴原函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$的值域為{y|$y≠-\fraclkg8byq{c}$}．
∴原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的值域是反函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$的定義域，
原函數y=$\frac{ax+b}{cx+d}$（ac≠0）的定義域是反函數y=$\frac{b-dx}{cx-a}$的值域．

點評 本題考查反函數的求法及原函數和反函數的定義域和值域的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分離變量法的合理運用．