Question

18．已知函數(shù)$f（x）=（x+3-\frac{a}{2}）（{e^x}-a）$，若x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，6]．

Answer 1

分析 令g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a，由函數(shù)g（x），h（x）均為（0，1）上的增函數(shù)求出兩函數(shù)的值域，結(jié)合要使x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0恒成立，則在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），把問題轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＜0}\\{h（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＞0}\\{h（x）＜0}\end{array}\right.$在x∈（0，1）時(shí)恒成立．分別求出兩不等式的解集，取并集得答案．

解答 解：令g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a，
則函數(shù)g（x）=$x+3-\frac{a}{2}$，h（x）=e^x-a均為（0，1）上的增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）∈（3-$\frac{a}{2}，4-\frac{a}{2}$）；h（x）∈（1-a，e-a），
要使x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0恒成立，則在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x），
∴要使x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0恒成立，則
$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＜0}\\{h（x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{g（x）＞0}\\{h（x）＜0}\end{array}\right.$②在x∈（0，1）時(shí)恒成立．
由①得：$\left\{\begin{array}{l}{4-\frac{a}{2}≤0}\\{1-a≥0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{a}{2}≥0}\\{e-a≤0}\end{array}\right.$，解得e≤a≤6．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[e，6]．
故答案為：[e，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)值域的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，明確要使x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0恒成立，則在（0，1）上，不存在x使g（x）=h（x）是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．