Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{1+x}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增加的；
（2）設g（x）=f（2^x），求證：函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
（3）在（2）的前提下，若g（x-1）+g（3-2x）＜0，求實數(shù)x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增加的；
（2）設g（x）=f（2^x），利用奇函數(shù)的定義，證明函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
（3）在（2）的前提下，若g（x-1）+g（3-2x）＜0，可化為x-1＜2x-3，即可求實數(shù)x的取值集合．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{x-1}{1+x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{1+x}$=$\frac{2}{（1+x）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增加的；
（2）證明：g（x）=f（2^x）=$\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$，
∴g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
（3）解：∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù)且是增加的，g（x-1）+g（3-2x）＜0，
∴g（x-1）＜g（2x-3），
∴x-1＜2x-3，
∴x＞2，
∴實數(shù)x的取值集合是{x|x＞2}．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．