Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+log₂（$\frac{5}{2}$-x）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）解不等式f（2x-1）-$\frac{1}{2}$≥0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出f（x）在x∈[-1，0]上的x的范圍即可；
（2）求出f（$\frac{1}{2}$）的值，問題掌握解不等式f（2x-1）≥f（$\frac{1}{2}$），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+log₂（$\frac{5}{2}$-x）-1，
設(shè)-x∈[0，1]，則x∈[-1，0]，
∴f（-x）=${（\frac{1}{4}）}^{-x}$+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1=4^x+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1=f（x），
∴x∈[-1，0]時(shí)：f（x）=4^x+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1；
f（x）在[-1，0）遞增，在（0，1]遞減；
（2）x∈[0，1]時(shí)：f（x）遞減，
而f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴解不等式f（2x-1）-$\frac{1}{2}$≥0，
即解不等式f（2x-1）≥f（$\frac{1}{2}$），
∴0≤2x-1≤$\frac{1}{2}$，解得：$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$，
根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
x∈[-1，0]時(shí)：-$\frac{3}{4}$≤x≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，是一道中檔題．