Question

4．已知過拋物線y²=9x的焦點的弦AB長為12，則直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)拋物線方程，求得焦點坐標(biāo)為F（ $\frac{9}{4}$，0），從而設(shè)所求直線方程為y=k（x-$\frac{9}{4}$）．再將所得方程與拋物線y²=9x消去y，利用韋達(dá)定理求出x₁+x₂，最后結(jié)合直線過拋物線y²=9x焦點截得弦長為12，得到x₁+x₂+3=12，求出k，得到直線的傾斜角．

解答 解：∵拋物線方程是y²=9x，
∴2p=9，可得 $\frac{p}{2}$=$\frac{9}{4}$，焦點坐標(biāo)為F（$\frac{9}{4}$，0）
設(shè)所求直線方程為y=k（x-$\frac{9}{4}$），
與拋物線y²=9x消去y，得k²x²-（$\frac{9}{2}$k²+9）x+$\frac{81}{16}$k²=0
設(shè)直線交拋物線與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=$\frac{\frac{9}{2}{k}^{2}+9}{{k}^{2}}$，
∵直線過拋物線y²=9x焦點，交拋物線得弦長為12，
∴x₁+x₂+$\frac{9}{2}$=12，可得x₁+x₂=$\frac{15}{2}$，
因此，$\frac{\frac{9}{2}{k}^{2}+9}{{k}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，解之得k²=3，
∴k=tanα=±$\sqrt{3}$，結(jié)合α∈[0，π），可得α=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點評 本題給出已知方程的拋物線焦點弦長為12，求這條弦所在直線的傾斜角，著重考查了直線傾斜角、拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．