Question

16．設a，b，c，d是正數(shù)，且a+b+c+d=4，證明：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}d9q9zxj$+$\frac{xboztfh^{2}}{a}$≥4+（a-b）²．

Answer 1

分析 通過柯西不等式可知$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}7z7jhtk$+$\frac{znmyeeb^{2}}{a}$≥$\frac{（b+c+d）^{2}}{c+d+a}$，利用a+b+c+d=4整理、拼湊可知$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}tlty4qw$+$\frac{xaauks0^{2}}{a}$≥4+$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$，利用$\frac{4}{b（4-b）}$≥1整理即得結論．

解答 證明：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}nxruter$+$\frac{t4ecoeg^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}}$+（$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}pnhfgxi$+$\frac{q2gsbw6^{2}}{a}$）
≥$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{（b+c+d）^{2}}{c+d+a}$（柯西不等式）
=$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{（4-a）^{2}}{4-b}$
=$\frac{（4-b）{a}^{2}+b（4-a）^{2}}{b（4-b）}$
=$\frac{（16b-4^{2}）+（4{a}^{2}-8ab+4^{2}）}{b（4-b）}$
=4+$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$，
∵（b-2）²≥0，
∴$\frac{4}{b（4-b）}$≥1，
∴$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$≥（a-b）²，
∴$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}vmtweiq$+$\frac{yajcb60^{2}}{a}$≥4+（a-b）²．

點評 本題考查不等式的證明，利用柯西不等式是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．