16.設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且a+b+c+d=4,證明:$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}nnt5zdf$+$\frac{9zlxfrd^{2}}{a}$≥4+(a-b)2

分析 通過(guò)柯西不等式可知$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}lnb9l17$+$\frac{tfb7vfd^{2}}{a}$≥$\frac{(b+c+d)^{2}}{c+d+a}$,利用a+b+c+d=4整理、拼湊可知$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}hj97ntv$+$\frac{z7rtbbt^{2}}{a}$≥4+$\frac{4(a-b)^{2}}{b(4-b)}$,利用$\frac{4}{b(4-b)}$≥1整理即得結(jié)論.

解答 證明:$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}v7xd75d$+$\frac{7lf7nt7^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}}$+($\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}ldr59vb$+$\frac{rzb91dj^{2}}{a}$)
≥$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{(b+c+d)^{2}}{c+d+a}$(柯西不等式)
=$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{(4-a)^{2}}{4-b}$
=$\frac{(4-b){a}^{2}+b(4-a)^{2}}{b(4-b)}$
=$\frac{(16b-4^{2})+(4{a}^{2}-8ab+4^{2})}{b(4-b)}$
=4+$\frac{4(a-b)^{2}}{b(4-b)}$,
∵(b-2)2≥0,
∴$\frac{4}{b(4-b)}$≥1,
∴$\frac{4(a-b)^{2}}{b(4-b)}$≥(a-b)2
∴$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}fxz1znh$+$\frac{tnhr5fp^{2}}{a}$≥4+(a-b)2

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明,利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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序號(hào)分組頻數(shù)頻率
1[60,70)0.15
2[70,80)200.2
3[80,90)350.35
4[90,100)30
合計(jì)1001
(1)寫出頻率分布表中①、②所代表的數(shù)據(jù);
(2)在所給坐標(biāo)系中畫出樣本的頻率分布直方圖;
(3)為鼓勵(lì)更多的學(xué)生了解“抗戰(zhàn)歷史”知識(shí),對(duì)成績(jī)不低于90分的學(xué)生給予獎(jiǎng)勵(lì),請(qǐng)估計(jì)在參加競(jìng)賽的1000名學(xué)生中大概有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.設(shè)[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:[-1.5]=-2,[2]=2,[3.1]=3,那么關(guān)于函數(shù)f(x)=[x]+[3x],x∈R的下列說(shuō)法:
(1)f(x)是單調(diào)增函數(shù);   
(2)f(x)是奇函數(shù);
(3)f($-\frac{1}{3}$)=-2;
(4)f(x)=4,那么,$1≤x<\frac{4}{3}$
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是(3)(4).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[2,4]上的最大值與最小值.

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11.某小區(qū)要建一個(gè)面積為500平方米的矩形綠地,四周有小路,綠地長(zhǎng)邊外路寬5米,短邊外路寬8米,怎樣設(shè)計(jì)綠地的長(zhǎng)與寬,使綠地和小路所占的總面積最小,并求出最小值.

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