Question

11．已知z∈C，若A=$\frac{{z}^{2}-{z}^{-2}}{2i}$，B=z•$\overline{z}$，則A和B之間的大小關系是設z=a+bi，當${a}^{2}＜\frac{1}{2}$時，A＞B；當a²=$\frac{1}{2}$時，A=B；當${a}^{2}＞\frac{1}{2}$時，A＜B．

Answer 1

分析 設z=a+bi，則z²=a²-b²+2abi，由A=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2}i$+ab+$\frac{4ab+2（{a}^{2}-^{2}）i}{16{a}^{2}^{2}+4（{a}^{2}-^{2}）^{2}}$，由A和B之間能比較大小關系，得A的虛部為0，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵z∈C，A=$\frac{{z}^{2}-{z}^{-2}}{2i}$，B=z•$\overline{z}$，
∴設z=a+bi，則z²=a²-b²+2abi，
∴A=$\frac{{a}^{2}-^{2}+2abi}{2i}$-$\frac{1}{2i（{a}^{2}-^{2}+2abi）}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2}i$+ab+$\frac{4ab+2（{a}^{2}-^{2}）i}{16{a}^{2}^{2}+4（{a}^{2}-^{2}）^{2}}$，
∵B=z•$\overline{z}$=（a+bi）（a-bi）=a²+b²，A和B之間能比較大小關系，
∴$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2}+\frac{2（{a}^{2}-^{2}）}{16{a}^{2}^{2}+4（{{a}^{2}-^{2}）^{2}}_{\;}}$=0，
若a≠b，則$\frac{1}{2}+\frac{1}{8{a}^{2}^{2}+2（{a}^{2}-^{2}）^{2}}$=0不成立，∴a=b，
∴A=ab+$\frac{1}{4ab}$=${a}^{2}+\frac{1}{4{a}^{2}}$，B=2a²，
∴${a}^{2}＜\frac{1}{2}$時，A＞B；a²=$\frac{1}{2}$時，A=B；${a}^{2}＞\frac{1}{2}$時，A＜B．
故答案為：設z=a+bi，當${a}^{2}＜\frac{1}{2}$時，A＞B；當a²=$\frac{1}{2}$時，A=B；當${a}^{2}＞\frac{1}{2}$時，A＜B．

點評 本題考查兩個數(shù)的大小的比較，是中檔題，解題時要認真審題，注意復數(shù)性質(zhì)及運算法則的合理運用．