Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩焦點(diǎn)，以點(diǎn)F₁為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{5}-1$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 利用以點(diǎn)F₁為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，可得$\frac{^{2}}{a}$=c，即可求出雙曲線的離心率

解答 解：x=-c時(shí)，代入雙曲線方程，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
∵以點(diǎn)F₁為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，
∴$\frac{^{2}}{a}$=c，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題給出以點(diǎn)F₁為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．