Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x
（1）若函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）若a＞0，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求證：$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）通過求導(dǎo)得到g′（x），通過對a分類討論即可得出其單調(diào)性；
（3）利用斜率計算公式，令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，及令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，通過求導(dǎo)得到其單調(diào)性即可證明．

解答 解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²-3x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
由函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸可得，
g′（1）=1+2a-3=0，
∴a=1；
（2）g（x）=lnx+ax²-3x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3=$\frac{2a{x}^{2}-3x+1}{x}$，
設(shè)t（x）=2ax²-3x+1，△=9-8a，
①當0＜a＜$\frac{9}{8}$時，設(shè)t（x）=0的兩根為x₁=$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$，
由g′（x）＞0可得x＞x₂，或0＜x＜x₁；由g′（x）＜0可得x＞x₂，或＜x₁＜x＜x₂，
即g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$），（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$）；
②當a≥$\frac{9}{8}$時，2ax²-3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，
g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
（3）證明：依題意得k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$?$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$
?x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁，
令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，則h′（x）=1-$\frac{{x}_{1}}{x}$，
當x＞x₁時，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在（x₁，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x₂＞x₁時，h（x₂）＞h（x₁）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁
令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，則m′（x）=1-$\frac{{x}_{2}}{x}$，
當x＜x₂時，m'（x）＜0，∴函數(shù)m（x）在（0，x₂）單調(diào)遞減，
∴當x₁＜x₂時，m（x₁）＞h（x₂）=0，即x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁；
所以命題得證．

點評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、根據(jù)所證明的結(jié)論恰當?shù)臉?gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．