Question

1．解關(guān)于x的不等式：ax²-2ax-1＜0，已知常數(shù)a∈R．

Answer 1

分析 討論a=0與a＞0和a＜0時，對應(yīng)不等式的解集是什么，分別求出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，不等式等價于-1＜0，對x∈R恒成立；
（2）當(dāng)a＞0時，△=4a²+4a＞0恒成立，對應(yīng)方程ax²-2ax-1=0的兩根為
x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，
所以原不等式的解集為{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
（3）當(dāng)a＜0時，①若△=4a²+4a＜0，即-1＜a＜0，原不等式的解集為R；
②若△=4a²+4a=0，即a=-1時，原不等式化為（x-1）²＞0，解得{x|x≠1}；
③若△=4a²+4a＞0，即a＜-1時，原不等式的解集為{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
綜上：當(dāng)a＜-1時，不等式的解集為{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}，
當(dāng)a=-1時，不等式的解集為{x|x≠1}，
當(dāng)-1＜a≤0時，不等式的解集為R，
當(dāng)a＞0時，不等式的解集為{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}．…（12分）

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)對字母系數(shù)進行討論，是中檔題目．