Question

2．已知函數(shù)f（x）=x（1+lnx）
（1）若不等式f（x）≤kx²對x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）當0＜a＜b＜1時，證明：$\frac{\root{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得k≥$\frac{1+lnx}{x}$的最大值，求出g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到k的范圍；
（2）運用分析法證明，證得$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．設函數(shù)h（x）=$\frac{xlnx}{1-x}$（0＜x＜1），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）不等式f（x）≤kx²對x∈（0，+∞）恒成立，
即為k≥$\frac{1+lnx}{x}$的最大值，
由g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的導數(shù)為$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，g（x）遞減，0＜x＜1時，g（x）遞增，
即有x=1處取得最大值，且為1，
則k≥1；
（2）要證$\frac{\root{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}}$，即為${a}^{\frac{1}-1}$＞$^{\frac{1}{a}-1}$，
即為ln${a}^{\frac{1}-1}$＞ln$^{\frac{1}{a}-1}$，
即有（$\frac{1}$-1）lna＞（$\frac{1}{a}$-1）lnb，
即為$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．
設函數(shù)h（x）=$\frac{xlnx}{1-x}$（0＜x＜1），
導數(shù)h′（x）=$\frac{1-x+lnx}{（1-x）^{2}}$，
由1-x+lnx的導數(shù)為-1+$\frac{1}{x}$＞0，即有1-x+lnx＜0，
則有h′（x）＜0，即h（x）在（0，1）遞減，
由0＜a＜b＜1，可得$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．
故不等式$\frac{\root{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}}$成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題，注意運用參數(shù)分離，同時考查不等式的證明，注意運用分析法和構造函數(shù)，運用單調(diào)性解決，屬于中檔題．