Question

12．已知函數(shù)f（log₂x）=log₂（x+1）．
（1）求f（x）．
（2）用定義證明f（x）在其定義域上為增函數(shù)．
（3）解不等式$f（x）＜-{log_{\frac{1}{2}}}（{4^x}-{2^x}+1）$．

Answer 1

分析 （1）利用換元法結(jié)合對數(shù)的運算法則進行求解即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）設log₂x=t，則x=2^t，
∴$f（t）={log_2}（{2^t}+1）$，
∴$f（x）={log_2}（{2^x}+1）$．…3
（2）設x₁，x₂是R上任意兩個不相等的實數(shù)，且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，
∴$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）={log_2}（{2^{x_2}}+1）-{log_2}（{2^{x_1}}+1）={log_2}\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}$，
∵$（{2^{x_2}}+1）-（{2^{x_1}}+1）={2^{x_2}}-{2^{x_1}}$，
∴當x₂＞x₁時，${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}$，
∴$（{2^{x_2}}+1）-（{2^{x_1}}+1）＞0$
∵${2^{x_2}}+1＞0，{2^{x_1}}+1＞0$，
∴$\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}＞1$，
∴${log_2}\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}＞lo{g_2}1=0$
即△y＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)．…8
（3）原不等式化為：${log_2}（{2^x}+1）＜{log_2}（{4^x}-{2^x}+1）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1＜{4^x}-{2^x}+1\\{2^x}+1＞0\end{array}\right.$，
∴2^x+1＜2^2x
即x+1＜2x解得：x＞1，
∴解集為（1，+∞）．…12

點評 本題主要考查函數(shù)解析式和函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運算法則是解決本題的關鍵．