Question

6．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當(dāng)t=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線C₁上一點(diǎn)A且點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸為正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為曲線C₂上動(dòng)點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當(dāng)t=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線C₁上一點(diǎn)A（3，-$\sqrt{3}$），點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B$（-3，\sqrt{3}）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標(biāo)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．設(shè)P$（2cosθ，\sqrt{6}sinθ）$，θ∈[0，2π），則|PA|²+|PB|²
=4sin²θ+32，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當(dāng)t=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線C₁上一點(diǎn)A（3，-$\sqrt{3}$），點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B$（-3，\sqrt{3}）$，
利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)：A$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$，B$（2\sqrt{3}，\frac{5π}{6}）$．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$，化為3x²+2y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
設(shè)P$（2cosθ，\sqrt{6}sinθ）$，θ∈[0，2π），則|PA|²+|PB|²=$（2cosθ-3）^{2}+（\sqrt{6}sinθ+\sqrt{3}）^{2}$+（2cosθ+3）²+$（\sqrt{6}sinθ-\sqrt{3}）^{2}$
=4sin²θ+32≤36，
∴|PA|²+|PB|²的最大值是36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、三角函數(shù)的求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．