Question

6．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），當t=-1時，對應曲線C₁上一點A且點A關于原點的對稱點為B，以原點O為極點，以x軸為正半軸為極軸建立坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求A，B兩點的極坐標；
（2）設P為曲線C₂上動點，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），當t=-1時，對應曲線C₁上一點A（3，-$\sqrt{3}$），點A關于原點的對稱點為B$（-3，\sqrt{3}）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標．
（2）曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．設P$（2cosθ，\sqrt{6}sinθ）$，θ∈[0，2π），則|PA|²+|PB|²
=4sin²θ+32，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），當t=-1時，對應曲線C₁上一點A（3，-$\sqrt{3}$），點A關于原點的對稱點為B$（-3，\sqrt{3}）$，
利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標：A$（2\sqrt{3}，-\frac{π}{6}）$，B$（2\sqrt{3}，\frac{5π}{6}）$．
（2）曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{6}{\sqrt{9-3si{n}^{2}θ}}$，化為3x²+2y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
設P$（2cosθ，\sqrt{6}sinθ）$，θ∈[0，2π），則|PA|²+|PB|²=$（2cosθ-3）^{2}+（\sqrt{6}sinθ+\sqrt{3}）^{2}$+（2cosθ+3）²+$（\sqrt{6}sinθ-\sqrt{3}）^{2}$
=4sin²θ+32≤36，
∴|PA|²+|PB|²的最大值是36．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與橢圓相交弦長問題、三角函數的求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．