Question

6．如圖，已知矩形ABCD是圓柱O₁O₂的軸截面，N在上底面的圓周O₂上，AC、BD相交于點(diǎn)M；
（1）求證：CN⊥平面ADN；
（2）已知圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，直線(xiàn)BC與平面CAN所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求異面直線(xiàn)AB與DN所成角的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CN⊥DN，CN⊥AD，由此能證明CN⊥平面ADN．
（2）以N為原點(diǎn)，ND為x軸，NC為y軸，過(guò)點(diǎn)N垂直于平面CND的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)AB與DN所成角的大�。�

解答 證明：（1）∵矩形ABCD是圓柱O₁O₂的軸截面，N在上底面的圓周O₂上，
∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN?平面CDN，∴CN⊥AD，
∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．
解：（2）∵圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，
∴MC=MD=MA=MB=2，
設(shè)AD=c，則AB=$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
以N為原點(diǎn)，ND為x軸，NC為y軸，過(guò)點(diǎn)N垂直于平面CND的直線(xiàn)為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)D（a，0，0），C（0，b，0），則A（a，0，-c），B（0，b，-c），N（0，0，0），
$\overrightarrow{NA}$=（a，0，-c），$\overrightarrow{NC}$=（0，b，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，c），
設(shè)平面NAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NA}=ax-cz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=by=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{c}$），
∵直線(xiàn)BC與平面CAN所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴直線(xiàn)BC與平面CAN所成角的正弦值為$\frac{1}{\sqrt{13}}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{c•\sqrt{1+\frac{1}{{c}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$，解得c=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{16-12}$=2，a²+b²=AB²=4，
∵$\overrightarrow{CA}$=（a，-b，-c），平面NAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{c}$），
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}$=a-1=0，解得a=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{ND}$=（1，0，0），
設(shè)異面直線(xiàn)AB與DN所成角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|-1|}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴$α=\frac{π}{3}$，
∴異面直線(xiàn)AB與DN所成角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．