Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，S₃=12．
（ I） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（ II）若a₃，a_k+1，S_k成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （ I） 設(shè)出公差，利用已知條件求出公差，然后求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（ II）利用（1）求出數(shù)列的S_n，利用a₃，a_k+1，S_k成等比數(shù)列，列出方程，求解正整數(shù)k的值．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意知a₂+a₃=10，即2a₁+3d=10，
由a₁=2，解得d=2．
所以a_n=2+2（n-1）=2n，即a_n=2n，n∈N^*．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{（2+2n）n}{2}={n^2}+n$，所以${S_k}={k^2}+k$．
又a₃=2×3=6，a_k+1=2（k+1），
由已知可得$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$，即（2k+2）²=6（k²+k），
整理得 k²-k-2=0，k∈N^*．
解得k=-1（舍去）或k=2．
故k=2．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和以及等比數(shù)列的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．