Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（1）求f（-1）和f′（-1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用切線方程得到斜率，求出點的坐標(biāo)即可．
（2）利用點的坐標(biāo)切線的斜率，曲線經(jīng)過的點列出方程組求法即可．

解答 解：（1）∵f（x）在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
故點（-1，f（-1））在切線6x-y+7=0上，且切線斜率為6．
得f（-1）=1且f′（-1）=6．
（2）∵f（x）過點P（0，2）
∴d=2
∵f（x）=x³+bx²+cx+d
∴f′（x）=3x²+2bx+c
由f′（-1）=6得3-2b+c=6
又由f（-1）=1，得-1+b-c+d=1
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ 3-2b+c=6\\ 1=-1+b-c+d\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ c=-3\\ d=2\end{array}\right.$
故f（x）=x³-3x²-3x+2

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．