Question

17．已知$\overrightarrow{m}$=（asinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，bxinx），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，滿足f（$\frac{π}{6}$）=2，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到函數(shù)g（x），求方程g（x）-1-$\sqrt{2}$=0在區(qū)間[0，π]上的所有根之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出a，b即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)圖象平移關(guān)系求出g（x），解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（asinx，cosx）•（sinx，bxinx）=asin²x+bsinxcosx，
f′（x）=2asinxcosx+bcosxcosx-bsinxsinx=asin2x+bcos2x，
∵f（$\frac{π}{6}$）=2，∴f（$\frac{π}{6}$）=a（$\frac{1}{2}$）²+b$•×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{a}{4}$+$\frac{\sqrt{3}b}{4}$=2，即a+$\sqrt{3}$b=8．①
∵f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．
∴f′（0）=f′（$\frac{π}{6}$），
即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$b，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{1}{2}$b，即b=$\sqrt{3}a$，②
由①②得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
即f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）將函數(shù)f（x）圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到函數(shù)g（x），
即g（x）=1+2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由g（x）-1-$\sqrt{2}$=0得1+2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1-$\sqrt{2}$=0，即sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈[0，π]
∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
則x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$或x-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$，
即x=$\frac{5π}{12}$或$\frac{11π}{12}$，
則$\frac{5π}{12}$+$\frac{11π}{12}$=$\frac{4π}{3}$，即方程g（x）-1-$\sqrt{2}$=0在區(qū)間[0，π]上的所有根之和為$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角方程的求解，根據(jù)條件關(guān)系求出函數(shù)f（x）和g（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．