Question

14．已知f₁（x）=1-ax，f₂（x）=（1-a）x-1．符號max{m，n}表示m，n兩數(shù)中較大的數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=max{f₁（x），f₂（x）}，試求分段函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記（1）所求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[1，3]內(nèi)的最大值與最小值之差為h（a），試求關(guān)于a的函數(shù)h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）令f₁（x）=f₂（x），可得x=2，進(jìn)而可得當(dāng)x＜2時(shí)，1-ax＞（1-a）x-1，當(dāng)x＞2時(shí)，1-ax＜（1-a）x-1，結(jié)合f（x）=max{f₁（x），f₂（x）}，可得分段函數(shù)f（x）的解析式；
（2）分類討論函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[1，3]的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值與最小值之差為h（a），綜合討論結(jié)果，可得函數(shù)h（a）的解析式．

解答 解：（1）令f₁（x）=f₂（x），
即1-ax=（1-a）x-1，則x=2，
當(dāng)x＜2時(shí)，1-ax＞（1-a）x-1，
當(dāng)x＞2時(shí)，1-ax＜（1-a）x-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-ax，x＜2\\（1-a）x-1，x≥2\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f（1）=1-a，f（2）=1-2a，f（3）=2-3a，
若a＜0，則f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，此時(shí)h（a）=f（3）-f（1）=2-3a-（1-a）=-2a+1；
若a=0，則h（a）=2-1=1，
若0＜a＜1，則f（x）在[1，2]為減函數(shù)，在[2，3]上為增函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，h（a）=f（3）-f（2）=2-3a-（1-2a）=-a+1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時(shí)，h（a）=f（1）-f（2）=1-a-（1-2a）=a，
若a=1時(shí)，h（a）=0-（-1）=1，
若a＞1，則f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，此時(shí)h（a）=f（1）-f（3）=1-a-（2-3a）=2a-1，
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}-2a+1，a≤0\\-a+1，0＜a＜\frac{1}{2}\\ a，\frac{1}{2}≤a≤1\\ 2a-1，a＞1\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，函數(shù)的最值，難度中檔．