Question

19．直線2x-y+c=0與圓（x-1）²+（y+1）²=6交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求c的值．

Answer 1

分析 將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得關(guān)于c的方程，即可求解，注意方程判別式的驗(yàn)證．

解答 解：由直線2x-y+c=0與圓（x-1）²+（y+1）²=6，消去y，得5x²+（2+4c）x+c²+2c-4=0①…（4分）
設(shè)直線l和圓C的交點(diǎn)為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個(gè)根．
∴x₁x₂=$\frac{{c}^{2}+2c-4}{5}$，x₁+x₂=-$\frac{2+4c}{5}$．②…（8分）
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（2x₁+c）（2x₂+c）=0，即5x₁x₂+2c（x₁+x₂）+c²=0③
將②代入③得：c²+3c-10=0． …（12分）
解得：c=2或c=-5，
c=2時(shí)，方程為5x²+10x+4=0，判別式△=100-80＞0，滿足題意
c=-5時(shí)，方程為5x²-18x-11=0，判別式△＞0，滿足題意
所以滿足條件的c為：c=2或c=-5．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．