Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀的值為  （　�。�

• A． $\frac{325}{462}$
• B． $\frac{19}{20}$
• C． $\frac{119}{256}$
• D． $\frac{2010}{2011}$

Answer 1

分析 f′（x）=2x+a，根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+ax的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，可得f′（0）=a=2，于是f（x）=x²+2x．因此$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∵函數(shù)f（x）=x²+ax的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線l與直線2x-y+2=0平行，
∴f′（0）=a=2，
∴f（x）=x²+2x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
則S₂₀=$\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{21}-\frac{1}{22}）$
=$\frac{325}{462}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．