Question

4．已知m＞0，兩圓x²+y²=m與x²+（y-m）²=20相交于A，B兩點(diǎn)，且在點(diǎn)A處兩圓的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圓的幾何性質(zhì)兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，且過(guò)對(duì)方圓心，O₁A⊥AO₂，利用勾股定理可得m的值，再用等面積法，求線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：由題知O₁（0，0），O₂（0，m），半徑分別為$\sqrt{m}$，2$\sqrt{5}$，根據(jù)兩圓相交，
可得圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和，即2$\sqrt{5}$-$\sqrt{m}$＜m＜2$\sqrt{5}$+$\sqrt{m}$．
又O₁A⊥O₂A，所以有m²=（$\sqrt{m}$）²+（2$\sqrt{5}$）²，∴m=5．
再根據(jù)${S}_{△A{O}_{1}{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•AO₁•AO₂=$\frac{1}{2}$O₁O₂•$\frac{AB}{2}$，求得AB=2×$\frac{\sqrt{5}•2\sqrt{5}}{5}$=4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)于圓及題意的理解，還考查了圓的切線性質(zhì)及直角三角形的求解線段長(zhǎng)度的等面積的方法，屬于基礎(chǔ)題．