Question

6．正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求S_n；
（2）若數(shù)列{a_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d．由2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．當n≥2時，2S_n-1=a_n-1a_n-1，兩式相減可得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），a_n+1-a_n-1=2，解得d=1．
當n=1時，2a=a（a+1）-1，解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．即可得出．
（2）由（1）可得：當n≥2時，a_n+1-a_n-1=2，又2a₁=a₁a₂-1，解得a₂=2+$\frac{1}{a}$．（a＞0）．當n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時，數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，首項為a，公差為2，可得a_n=a_2k-1=a+n-1．當n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，首項為2+$\frac{1}{a}$，公差為2，可得a_n=a_2k=2+$\frac{1}{a}$+n-2．由于數(shù)列{a_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，可得a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
∵2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
∴當n≥2時，2S_n-1=a_n-1a_n-1，
兩式相減可得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴2d=2，解得d=1．
當n=1時，2a=a（a+1）-1，
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴S_n=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}n$+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+（\sqrt{5}-2）n}{2}$．
（2）由（1）可得：當n≥2時，a_n+1-a_n-1=2，
又2a₁=a₁a₂-1，即2a=aa₂-1，解得a₂=2+$\frac{1}{a}$．（a＞0）．
∴當n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時，數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，首項為a，公差為2，
∴a_n=a_2k-1=a+2（k-1）=a+n-1．
當n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，首項為2+$\frac{1}{a}$，公差為2，
∴a_n=a_2k=2+$\frac{1}{a}$+2（k-1）=2+$\frac{1}{a}$+n-2．
∵數(shù)列{a_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，
∴a+2（k-1）＜2+$\frac{1}{a}$+2（k-1）＜a+2k，
解得$1＜a＜1+\sqrt{2}$．
∴a的取值范圍是$1＜a＜1+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應用、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．