Question

6．設(shè)向量$\vec a=（{1，2}）$，$\vec b=（{\frac{1}{{{n^2}+n}}，{a_n}}）$（n∈N^*），若$\vec a∥\vec b$，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n的最小值為1．

Answer 1

分析 利用向量共線求出數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的前n項和．

解答 解：向量$\vec a=（{1，2}）$，$\vec b=（{\frac{1}{{{n^2}+n}}，{a_n}}）$（n∈N^*），若$\vec a∥\vec b$，
可得a_n=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$）．
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2[1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$]=$\frac{2n}{n+1}$．
數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，
S_n的最小值為：S₁=1．
故答案為：1．

點評 本題考查向量與數(shù)列相結(jié)合，數(shù)列的函數(shù)特征，考查分析問題解決問題的能力．