【題目】已知f(x)=aln(x2+1)+bx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 .
(1)求證:|x1+x2|>2;
(2)若實(shí)數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+a+λb=0,試求λ的取值范圍.
【答案】
(1)證明:由f(x)=aln(x2+1)+bx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= +b= ,
令g(x)=bx2+2ax+b,由題意可得g(x)=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根,
得△=4a2﹣4b2>0,
因此a>b>0,
所以 >1;
所以x1+x2=﹣ <﹣2,
即|x1+x2|>2
(2)解:由(1)知x1x2=1,
f(x1)+f(x2)+a
=aln[x12x22+(x12+x22)+1]+b(x1+x2)+a
=aln[(x12+x22)+2]+b(x1+x2)+a
=aln[(x1+x2)2]+b(x1+x2)+a
=2aln ﹣a,
由f(x1)+f(x2)+a+λb=0得﹣λ= ln ﹣ ,
設(shè)t= >2,則﹣λ=tlnt﹣ t,
令h(t)=tlnt﹣ t,t>2.
h′(t)=1+lnt﹣ =lnt+ >0,
h(t)在(2,+∞)是增函數(shù).
因此﹣λ>2ln2﹣1,
即為λ<1﹣2ln2
【解析】(1)由f(x)的導(dǎo)數(shù),可設(shè)g(x)=f′(x),即有方程g(x)=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根x1 , x2 , 可得 >1,結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)論;(2)若實(shí)數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+a+λb=0,化簡(jiǎn)整理可得﹣λ= ln ﹣ ,設(shè)t= >2,則﹣λ=tlnt﹣ t,求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,進(jìn)而可得λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列 中, ,數(shù)列 中, .
(1)求數(shù)列 , 的通項(xiàng)公式;
(2)若 ,求 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求對(duì)稱軸是軸,焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于兩點(diǎn),求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶制作一體積為立方米的養(yǎng)殖網(wǎng)箱(無蓋),網(wǎng)箱內(nèi)部被隔成體積相等的三塊長(zhǎng)方體區(qū)域(如圖),網(wǎng)箱.上底面的一邊長(zhǎng)為米,網(wǎng)箱的四周與隔欄的制作價(jià)格是元/平方米,網(wǎng)箱底部的制作價(jià)格為元/平方米.設(shè)網(wǎng)箱上底面的另一邊長(zhǎng)為米,網(wǎng)箱的制作總費(fèi)用為元.
(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系,并指出定義域;
(2)當(dāng)網(wǎng)箱上底面的另一邊長(zhǎng)為多少米時(shí),制作網(wǎng)箱的總費(fèi)用最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下的資料:
該興趣小組確定的研究方案是:現(xiàn)從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選用的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率;
(2)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若有線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(2)中所得線性回歸方程是否是理想?
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線 ,曲線C2的參數(shù)方程為: ,(θ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)求C1 , C2的極坐標(biāo)方程;
(2)射線 與C1的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的交點(diǎn)為B,求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列滿足,.
(1)求;
(2)先猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在直角梯形中, ,且.現(xiàn)以為一邊向形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直, 為的中點(diǎn),如圖 2.
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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