Question

12．如果α與β的正切值可能相等，我們稱這兩個(gè)角是“親情角”，已知tan（β-$\frac{π}{4}$）=2，下列選項(xiàng)中的角與β互為“親情角”的是（　　）

• A． tanα=3
• B． sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． tan²（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$
• D． cosα=$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 先求出tanβ=-3，再分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)中的角的正切值，由此能求出與β互為“親情角”的角．

解答 解：∵tan（β-$\frac{π}{4}$）=2，
∴$\frac{tanβ-tan\frac{π}{4}}{1+tanβtan\frac{π}{4}}=2$，解得tanβ=-3，
在A中，tanα=3≠tanβ，故A不成立；
在B中，sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=$±\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$±\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$±\frac{1}{3}$，故B不成立；
在C中，tan²（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，$tan（α+\frac{π}{4}）=±\frac{1}{2}$，
當(dāng)tanα=-3時(shí)，$tan（α+\frac{π}{4}）$=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{-3+1}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，成立，故C成立；
在C中，cosα=$\frac{1}{3}$，sinα=$±\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$±\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$±2\sqrt{2}$，故D不成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的合理運(yùn)用．