Question

19．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）求直線l與曲線C交點的極坐標（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t，求出直線l的普通方程，由此能求出直線l的極坐標方程．
（Ⅱ）求出曲線C的直角坐標方程，從而求出直線l與曲線C交點的直角坐標，由此能求出直線l與曲線C交點的極坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，
∴直線l的極坐標方程為$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}$=0．
（Ⅱ）∵曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，得x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴直線l與曲線C交點的直角坐標為（1，-$\sqrt{3}$），（3，$\sqrt{3}$），
∴直線l與曲線C交點的極坐標為（2，$\frac{5π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．

點評 本題考查直線的極坐標方程的求法，考查直線與曲線交點的極坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．