Question

5．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（b＞0），若對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥0，則$\frac{f（1）}$的最小值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得出$\frac{ac}{^{2}}≥\frac{1}{4}$，且a，c＞0，而$\frac{f（1）}=\frac{a}+\frac{c}+1$，這樣根據(jù)基本不等式以及不等式的性質(zhì)即可得出$\frac{f（1）}$的最小值．

解答 解：根據(jù)條件知，△=b²-4ac≤0，且a＞0；
∴b²≤4ac；
$\frac{ac}{^{2}}≥\frac{1}{4}$；
∴c＞0，又b＞0；
∴$\frac{f（1）}=\frac{a+b+c}=\frac{a}+\frac{c}+1≥2\sqrt{\frac{ac}{^{2}}}+1$$≥2\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$；
∴$\frac{f（1）}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 考查當(dāng)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c恒大于0時，便可得到△≤0，a＞0，不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，注意應(yīng)用基本不等式所要具備的條件．