Question

1．函數(shù)f（x）是定義域為R的單調(diào)增函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂（1+x）
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-5）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-log₂（1-x），…（5分）
當(dāng)x=0時，由于f（x）為奇函數(shù)，f（x）=0．
綜上，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}（1+x），x＞0}\\{0，x=0}\\{-{{log}_2}（1-x），x＜0}\end{array}}\right.$．…（7分）
（少了x=0的情況得5分）
（2）f（t²-2t）+f（2t²-5）＜0⇒f（t²-2t）＜-f（2t²-5），
由于f（x）為奇函數(shù)，則f（t²-2t）＜f（5-t²），…（9分）
由于f（x）在R上單調(diào)遞增，則t²-2t＜5-2t²⇒3t²-2t-5＜0…（11分）
⇒$t∈（{-1，\frac{5}{3}}）$．…（14分）

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．