Question

6．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，則直線(xiàn)BA₁與平面BDC₁所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$..

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)BA₁與平面BDC₁所成角的正弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得B（1，1，0），A₁（1，0，2），D（0，0，0），C₁（0，1，2），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），
設(shè)平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
設(shè)直線(xiàn)BA₁與平面BDC₁所成角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
∴直線(xiàn)BA₁與平面BDC₁所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．