9.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=$\frac{1}{2}$,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*,記T2n為數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列,則使不等式(T2n+$\frac{1}{_{n}}$)•$\frac{1}{_{n}}$<1成立的最小整數(shù)n為(  )
A.7B.6C.5D.4

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出T2n以及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),可得(3+1)an+2-2an+2(1-1)=0,即$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$,
∴a2,a4,a6,…是以${a_2}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng),以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),可得(3-1)an+2-2an+2(-1-1)=0,即an+2-an=2,
∴a1,a3,a5,…是以a1=1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,
∴T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=$[n×1+\frac{1}{2}n(n-1)×2]+\frac{{\frac{1}{2}[(1-{{(\frac{1}{2})}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}$=${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$,
∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列,
∴bn=2•2n-1=2n,
則(T2n+$\frac{1}{_{n}}$)•$\frac{1}{_{n}}$<1等價(jià)為(${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$)•$\frac{1}{{2}^{n}}$<1,
即(n2+1)•$\frac{1}{{2}^{n}}$<1,即n2+1<2n,
作出函數(shù)y=n2+1與y=2n,的圖象如圖:
則當(dāng)n=1時(shí),2=2,
當(dāng)n=2時(shí),5<4不成立,
當(dāng)n=3時(shí),10<8不成立,
當(dāng)n=4時(shí),17<16不成立,
當(dāng)n=5時(shí),26<32成立,
當(dāng)n≥5時(shí),n2+1<2n恒成立,
故使不等式(T2n+$\frac{1}{_{n}}$)•$\frac{1}{_{n}}$<1成立的最小整數(shù)n為5,
故選:C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

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(Ⅰ)求證:PQ∥AC;
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