Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N^*，記T_2n為數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則使不等式（T_2n+$\frac{1}{_{n}}$）•$\frac{1}{_{n}}$＜1成立的最小整數(shù)n為（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出T_2n以及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得（3+1）a_n+2-2a_n+2（1-1）=0，即$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$，
∴a₂，a₄，a₆，…是以${a_2}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得（3-1）a_n+2-2a_n+2（-1-1）=0，即a_n+2-a_n=2，
∴a₁，a₃，a₅，…是以a₁=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=$[n×1+\frac{1}{2}n（n-1）×2]+\frac{{\frac{1}{2}[（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}$=${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$，
∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
則（T_2n+$\frac{1}{_{n}}$）•$\frac{1}{_{n}}$＜1等價(jià)為（${n^2}+1-\frac{1}{2^n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
即（n²+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，即n²+1＜2ⁿ，
作出函數(shù)y=n²+1與y=2ⁿ，的圖象如圖：
則當(dāng)n=1時(shí)，2=2，
當(dāng)n=2時(shí)，5＜4不成立，
當(dāng)n=3時(shí)，10＜8不成立，
當(dāng)n=4時(shí)，17＜16不成立，
當(dāng)n=5時(shí)，26＜32成立，
當(dāng)n≥5時(shí)，n²+1＜2ⁿ恒成立，
故使不等式（T_2n+$\frac{1}{_{n}}$）•$\frac{1}{_{n}}$＜1成立的最小整數(shù)n為5，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．