Question

14．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$．
（1）若z=x-2y，求z的最大值和最小值；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值；
（3）若z=$\frac{y}{x}$，求z的最大值和最小值；
（4）z=ax+y（a＜0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，求a的值；
（5）z=ax+y取得的最大值為5，最小值為3，求a的值．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合，分別根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進行求解即可的得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
（1）由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
平移直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點C時，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此時z最小，此時z=2-2×3=2-6=-4，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點A時，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此時z最大，此時z=2-2×1=2-2=0，
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是-4，最大值0．
（2）z=x²+y²的幾何意義為到原點的距離的平方，
由圖象知，OC的距離最大，此時z=x²+y²=2²+3²=4+9=13，
原點到直線x+y-3=0的距離最小，d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
此時z=d²=$\frac{9}{2}$，
故z最大值是13，最小值是$\frac{9}{2}$．
（3）z=$\frac{y}{x}$的幾何意義是P（x，y）與原點連線的斜率，
由圖象知OB的斜率最大為$\frac{2}{1}=2$，OA的斜率最小為$\frac{1}{2}$，
故z的最大值是2，最小值是$\frac{1}{2}$．
（4）由z=ax+y（a＜0）得y=-ax+z，
∵a＜0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＞0，
若z=ax+y（a＜0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，
則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a等于BC的斜率1，
即-a=1，則a=-1．
（5）由z=ax+y，得y=-ax+z，
若a=0，則y=z，由圖象知當(dāng)直線y=z在A取得最小值，在C取得最大值，
即1≤z≤3，此時不滿足條件．
若a＜0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＞0，
當(dāng)y=-ax+z在A的截距最小，此時z取得最小值3，
即a+1=3，得a=2，此時不滿足條件．
若a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＜0，
當(dāng)y=-ax+z在C的截距最大，此時z取得最大值5，
即2a+3=5，得a=1，
當(dāng)a=1時，y=-x+z，作出y=-x+z的圖象，
由圖象知直線y=-x+z經(jīng)過點A時，截距最小，此時z最小，
此時z=2+1=3，滿足條件．故a=1．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．