19.設(shè)a<b,把函數(shù)y=h(x)的圖象與直線x=a,x=b及y=0所圍成圖形的面積與b-a的比值稱為函數(shù)y=h(x)在[a,b]上的“面積密度”
(I)設(shè)f(x)=x1nx-x,曲線y=f(x)與直線y=x+b相切,求b的值;
(II)設(shè)0<a<b,求μ的值(用a,b表示)使得函數(shù)g(x)=|lnx-lnμ|在區(qū)間(a,b)上的“面積密度”取得最小值;
(III)記(2)中的最小值為φ(a,b),求證:φ(a,b)<ln2.

分析 (I)設(shè)切點(diǎn)為(a,alna-a),則切線方程為y-alna+a=lna(x-a),即y=xlna-a,利用曲線y=f(x)與直線y=x+b相切,求b的值;
(II)令面積密度為k,則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$,分類討論,求積分,即可得出結(jié)論;
(III)利用極限的思想,即可證明結(jié)論.

解答 (I)解:∵f(x)=x1nx-x,
∴f′(x)=lnx,
設(shè)切點(diǎn)為(a,alna-a),則切線方程為y-alna+a=lna(x-a),即y=xlna-a,
∵曲線y=f(x)與直線y=x+b相切,
∴l(xiāng)na=1,b=-a,
∴a=e,b=-e;
(II)解:令面積密度為k,則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$,
μ≥b,k=$\frac{(xlnμ+x-xlnx){|}_{a}^}{b-a}$=$\frac{(b-a)+(b-a)lnμ+alna-blnb}{b-a}$≥1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$(μ=b時(shí)取等號)
∴kmin=1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$
μ∈(a,b)=$\frac{{∫}_{a}^{μ}(lnμ-lnx)dx+{∫}_{μ}^(lnx-lnμ)dx}{b-a}$=$\frac{alna+blnb-(a+b)+2μ-(a+b)lnμ}{b-a}$,
設(shè)g(μ)=2μ-(a+b)lnμ,g′(μ)=$\frac{2μ-(a+b)}{μ}$,
在μ∈(a,$\frac{a+b}{2}$)上g′(μ)<0,在($\frac{a+b}{2}$,b)上,g′(μ)>0,
∴g(μ)≥g($\frac{a+b}{2}$)=$\frac{alna+blnb-(a+b)ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$,
∴kmin=$\frac{alna+blnb-(a+b)ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$
μ∈(0,a],k=$\frac{{∫}_{a}^(lnx-lnμ)dx}{b-a}$=-1-lnμ+$\frac{blnb+alna}{b-a}$≥-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$(μ=a時(shí)取等號),
∴kmin=-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$;
(III)取第二段考慮,設(shè)t=$\frac{a}$(t∈(1,+∞)),g(t)=$\frac{ln\frac{2}{t+1}+tln\frac{2t}{t+1}}{t-1}$,
g′(t)=-$\frac{1}{(t-1)^{2}}$ln$\frac{4t}{(t+1)^{2}}$>0,
∴g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∵$\underset{lim}{t→1}g(t)$=$\underset{lim}{t→1}\frac{2t}{t+1}$=0,$\underset{lim}{t→∞}g(t)=\underset{lim}{t→∞}ln\frac{2}{1+\frac{1}{t}}$=ln2,
∴g(t)<ln2,
∴φ(a,b)<ln2.

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查定積分知識,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.函數(shù)y=x2+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$+|2-x|的最小值是10.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知數(shù)列{an}滿足$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3,且a1=1,則an=$\frac{1}{3n-2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.小明有4枚完全相同的硬幣,每個(gè)硬幣都分正反兩面.他把4枚硬幣疊成一摞(如圖),則所有相鄰兩枚硬幣中至少有一組同一面不相對的概率是$\frac{7}{8}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.過點(diǎn)p(3+2$\sqrt{3}$,4)作一條直線和x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OM+ON-MN的最大值為6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sinA+cosA=1-sin$\frac{A}{2}$.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)若c2-a2=2b,且sinB=3cosC,求b.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于拋物線x2=y,點(diǎn)C(3,9),AC平行于x軸,BD平行于該拋物線在點(diǎn)C處的切線,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求直線BD的方程;
(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≤x-1\\ x≤3\\ x+y≥4\end{array}\right.$,則z=2x-y的最大值是5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.記關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}$<0的解集為P,不等式|x-1|≤1的解集為Q.
(1)若a=3,求P;
(2)若a>0,且Q⊆P,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案