Question

19．設(shè)a＜b，把函數(shù)y=h（x）的圖象與直線x=a，x=b及y=0所圍成圖形的面積與b-a的比值稱為函數(shù)y=h（x）在[a，b]上的“面積密度”
（I）設(shè)f（x）=x1nx-x，曲線y=f（x）與直線y=x+b相切，求b的值；
（II）設(shè)0＜a＜b，求μ的值（用a，b表示）使得函數(shù)g（x）=|lnx-lnμ|在區(qū)間（a，b）上的“面積密度”取得最小值；
（III）記（2）中的最小值為φ（a，b），求證：φ（a，b）＜ln2．

Answer 1

分析 （I）設(shè)切點(diǎn)為（a，alna-a），則切線方程為y-alna+a=lna（x-a），即y=xlna-a，利用曲線y=f（x）與直線y=x+b相切，求b的值；
（II）令面積密度為k，則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$，分類討論，求積分，即可得出結(jié)論；
（III）利用極限的思想，即可證明結(jié)論．

解答 （I）解：∵f（x）=x1nx-x，
∴f′（x）=lnx，
設(shè)切點(diǎn)為（a，alna-a），則切線方程為y-alna+a=lna（x-a），即y=xlna-a，
∵曲線y=f（x）與直線y=x+b相切，
∴l(xiāng)na=1，b=-a，
∴a=e，b=-e；
（II）解：令面積密度為k，則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$，
μ≥b，k=$\frac{（xlnμ+x-xlnx）{|}_{a}^}{b-a}$=$\frac{（b-a）+（b-a）lnμ+alna-blnb}{b-a}$≥1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$（μ=b時(shí)取等號）
∴k_min=1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$
μ∈（a，b）=$\frac{{∫}_{a}^{μ}（lnμ-lnx）dx+{∫}_{μ}^（lnx-lnμ）dx}{b-a}$=$\frac{alna+blnb-（a+b）+2μ-（a+b）lnμ}{b-a}$，
設(shè)g（μ）=2μ-（a+b）lnμ，g′（μ）=$\frac{2μ-（a+b）}{μ}$，
在μ∈（a，$\frac{a+b}{2}$）上g′（μ）＜0，在（$\frac{a+b}{2}$，b）上，g′（μ）＞0，
∴g（μ）≥g（$\frac{a+b}{2}$）=$\frac{alna+blnb-（a+b）ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$，
∴k_min=$\frac{alna+blnb-（a+b）ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$
μ∈（0，a]，k=$\frac{{∫}_{a}^（lnx-lnμ）dx}{b-a}$=-1-lnμ+$\frac{blnb+alna}{b-a}$≥-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$（μ=a時(shí)取等號），
∴k_min=-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$；
（III）取第二段考慮，設(shè)t=$\frac{a}$（t∈（1，+∞）），g（t）=$\frac{ln\frac{2}{t+1}+tln\frac{2t}{t+1}}{t-1}$，
g′（t）=-$\frac{1}{（t-1）^{2}}$ln$\frac{4t}{（t+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∵$\underset{lim}{t→1}g（t）$=$\underset{lim}{t→1}\frac{2t}{t+1}$=0，$\underset{lim}{t→∞}g（t）=\underset{lim}{t→∞}ln\frac{2}{1+\frac{1}{t}}$=ln2，
∴g（t）＜ln2，
∴φ（a，b）＜ln2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查定積分知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．