分析 (I)設(shè)切點(diǎn)為(a,alna-a),則切線方程為y-alna+a=lna(x-a),即y=xlna-a,利用曲線y=f(x)與直線y=x+b相切,求b的值;
(II)令面積密度為k,則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$,分類討論,求積分,即可得出結(jié)論;
(III)利用極限的思想,即可證明結(jié)論.
解答 (I)解:∵f(x)=x1nx-x,
∴f′(x)=lnx,
設(shè)切點(diǎn)為(a,alna-a),則切線方程為y-alna+a=lna(x-a),即y=xlna-a,
∵曲線y=f(x)與直線y=x+b相切,
∴l(xiāng)na=1,b=-a,
∴a=e,b=-e;
(II)解:令面積密度為k,則k=$\frac{{∫}_{a}^|lnx-lnu|dx}{b-a}$,
μ≥b,k=$\frac{(xlnμ+x-xlnx){|}_{a}^}{b-a}$=$\frac{(b-a)+(b-a)lnμ+alna-blnb}{b-a}$≥1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$(μ=b時(shí)取等號)
∴kmin=1+$\frac{alna-alnb}{b-a}$
μ∈(a,b)=$\frac{{∫}_{a}^{μ}(lnμ-lnx)dx+{∫}_{μ}^(lnx-lnμ)dx}{b-a}$=$\frac{alna+blnb-(a+b)+2μ-(a+b)lnμ}{b-a}$,
設(shè)g(μ)=2μ-(a+b)lnμ,g′(μ)=$\frac{2μ-(a+b)}{μ}$,
在μ∈(a,$\frac{a+b}{2}$)上g′(μ)<0,在($\frac{a+b}{2}$,b)上,g′(μ)>0,
∴g(μ)≥g($\frac{a+b}{2}$)=$\frac{alna+blnb-(a+b)ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$,
∴kmin=$\frac{alna+blnb-(a+b)ln\frac{a+b}{2}}{b-a}$
μ∈(0,a],k=$\frac{{∫}_{a}^(lnx-lnμ)dx}{b-a}$=-1-lnμ+$\frac{blnb+alna}{b-a}$≥-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$(μ=a時(shí)取等號),
∴kmin=-1+$\frac{blnb-blna}{b-a}$;
(III)取第二段考慮,設(shè)t=$\frac{a}$(t∈(1,+∞)),g(t)=$\frac{ln\frac{2}{t+1}+tln\frac{2t}{t+1}}{t-1}$,
g′(t)=-$\frac{1}{(t-1)^{2}}$ln$\frac{4t}{(t+1)^{2}}$>0,
∴g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∵$\underset{lim}{t→1}g(t)$=$\underset{lim}{t→1}\frac{2t}{t+1}$=0,$\underset{lim}{t→∞}g(t)=\underset{lim}{t→∞}ln\frac{2}{1+\frac{1}{t}}$=ln2,
∴g(t)<ln2,
∴φ(a,b)<ln2.
點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查定積分知識,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.
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