Question

8．已知{a_n}為各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列，a₁+a₂₇=572，且存在正整數(shù)m，使得a₁，a₁₄，a_m成等比數(shù)列，則所有滿足條件的{a_n}中，公差的最大值與最小值的差為21．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合方程有正整數(shù)解，通過(guò)列舉法，即可得到公差的最值，可得之差．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₁+a₂₇=572，即為a₁+13d=286，①
又存在正整數(shù)m，使得a₁，a₁₄，a_m成等比數(shù)列，
可得a₁₄²=a₁a_m，即為（a₁+13d）²=a₁（a₁+（m-1）d），
可得d=0或169d=a₁（m-27），②
由于{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，m為正整數(shù)，則d≥0，
由①②可得，m-27=$\frac{169d}{286-13d}$=$\frac{13}{\frac{22}oraydrm-1}$，
可得d=21，a₁=13，m=300；d=20，a₁=26，m=157；
d=11，a₁=143，m=40；d=0，a₁=286，m=27．
綜上可得d的最大值為21，最小值為0，
故公差的最大值與最小值的差為21．
故答案為：21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查方程思想的運(yùn)用，以及運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．