Question

17．已知函數(shù)y=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x²）
求：（1）函數(shù)的定義域；
（2）指出函數(shù)的奇偶性；
（3）證明函數(shù)在（0，1）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件建立不等式關系即可求出函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（3）利用函數(shù)單調性的定義進行判斷和證明即可．

解答 解：（1）由1-x²＞0得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域為（-1，1）；
（2）∵f（-x）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x²）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（3）設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x₁²）-log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x₂²）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜x₁²＜x₂²＜1，
即-x₁²＞-x₂²＞-1，
即1-x₁²＞1-x₂²＞0，
則$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，即f（x₁）-f（x₂）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)在（0，1）上的單調遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域，函數(shù)奇偶性和單調性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關鍵．