Question

12．已知l是圓O：x²+y²=2的切線，1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B兩點，則△AOB面積的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分類討論直線的斜率存在和不存在，設出直線方程，運用直線和圓相切的條件：d=r，以及直線和橢圓相交的弦長公式，化簡整理，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面積的最大值．

解答 解：若直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+b是圓的一條切線，
則$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，可得b²=2（1+k²），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l方程代入橢圓方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-6=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8^{2}-24}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
由$\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4+4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤$\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{8}$，當且僅當k²=$\frac{1}{2}$時，取得最大值．
即有|AB|≤2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$=3；
當直線的斜率不存在時，不妨設直線方程為x=$\sqrt{2}$，
代入橢圓方程，可得y=±$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．
∴|AB|_max=3，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•$\sqrt{2}$，
∴△AOB面積的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與圓相切的條件，以及直線與橢圓相交的弦長公式，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．