Question

11．已知$\overrightarrow m=（-2sinx，cosx）$，$\overrightarrow{n}$=（cosx，2sin（x+$\frac{π}{2}$）），且函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
（1）求方程f（x）-1=0在（0，π）內(nèi)有兩個零點x₁，x₂，并求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移2個單位，得函數(shù)g（x）圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）解析式并利用三角函數(shù)恒等變換化簡，列出方程解出，
（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律寫出g（x）的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式解出．

解答 解：（1）f（x）=-2sinxcosx+2sin（x+$\frac{π}{2}$）cosx+1=2cos²x-sin2x+1=cos2x-sin2x+2=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵f（x）-1=0，∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵x∈（0，π），∴x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{2}$，
∴f（x₁+x₂）=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{7π}{4}$+2=3．
（2）g（x）=$\sqrt{2}$cos（[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]+2+2=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{11π}{12}$）+4．
則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：令-π+2kπ≤2x+$\frac{11π}{12}$≤2kπ，解得kπ-$\frac{23π}{24}$≤x≤kπ-$\frac{11π}{24}$，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-$\frac{23π}{24}$，kπ-$\frac{11π}{24}$]，k∈Z．

點評 本題考查了平面向量與三角函數(shù)的綜合，三角函數(shù)恒等變換，屬于中檔題．