Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$，設方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四個實根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，對于滿足條件的任意一組實根，下列判斷中一定正確的為（　　）

• A． x₁+x₂=2
• B． 9＜x₃•x₄＜25
• C． 0＜（6-x₃）•（6-x₄）＜1
• D． 1＜x₁•x₂＜9

Answer 1

分析 由題意知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$與函數y=2^-x+b的圖象有四個不同的交點，且交點的橫坐標從左到右為x₁，x₂，x₃，x₄，作圖象，從而可得0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜5＜x₄＜6，|lg（6-x₃）|＞|lg（6-x₄）|，再化簡可得（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-5）（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-7）＞0，從而解得．

解答 解：∵方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四個實根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，
∴函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$與函數y=2^-x+b的圖象有四個不同的交點，
且交點的橫坐標從左到右為x₁，x₂，x₃，x₄，
作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，0＜x≤3}\\{f（6-x），3＜x＜6}\end{array}\right.$與函數y=2^-x+b的圖象如下，
，
由圖象可知，0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜5＜x₄＜6，
故x₃•x₄＞9；
易知|lg（6-x₃）|＞|lg（6-x₄）|，
即lg（6-x₃）＞-lg（6-x₄），
即lg（6-x₃）+lg（6-x₄）＞0，
即36-6（x₃+x₄）+x₃•x₄＞1，
即6（x₃+x₄）＜x₃•x₄+35，
又∵x₃+x₄＞2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$，
∴12$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$＜x₃•x₄+35，
∴（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-5）（$\sqrt{{x}_{3}{x}_{4}}$-7）＞0，
∴x₃•x₄＜25，
故9＜x₃•x₄＜25，
故選B．

點評 本題考查了數形結合的思想應用及函數的零點與函數的圖象的關系應用，同時考查了基本不等式的應用．