Question

1．已知不等式2xy≤ax²+y²，若對任意x∈[2，4]且y∈[1，6]，該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 由參數(shù)分離和條件可得a≥$\frac{2xy-{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{2y}{x}$-（$\frac{y}{x}$）²，可令t=$\frac{y}{x}$（t＞0），即有a≥2t-t²，配方求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：由題意可得不等式2xy≤ax²+y²
即為a≥$\frac{2xy-{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{2y}{x}$-（$\frac{y}{x}$）²，
可令t=$\frac{y}{x}$（t＞0），
可得$\frac{2y}{x}$-（$\frac{y}{x}$）²=2t-t²=-（t-1）²+1，
當(dāng)t=1即x=y時，取得最大值1．
由恒成立思想，可得a≥1．
即有a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．