Question

6．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，若其漸進線與圓x²+y²-6y+3=0相切，則此雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x與圓x²+y²-6y+3=0相切?圓心（0，3）到漸近線的距離等于半徑r，利用點到直線的距離公式和離心率的計算公式即可得出．

解答 解：取雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0．
由圓x²+y²-6y+3=0化為x²+（y-3）²=6．圓心（0，3），半徑r=$\sqrt{6}$．
∵漸近線與圓x²+y²-6y+3=0相切，
∴$\frac{3a}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{6}$化為a²=2b²．
∴該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：C．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．