Question

5．【文】設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（a＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其一條漸近線與圓（x-a）²+y²=4相切于點M，則△F₁MF₂的面積為（　�。�

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 利用漸近線與圓（x-a）²+y²=4相切，求出a，進而可得M的坐標，即可求出△F₁MF₂的面積．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，即2$\sqrt{2}$x-ay=0，
∵漸近線與圓（x-a）²+y²=4相切，
∴$\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{8+{a}^{2}}}$=2，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴c=4，
直線MF₂的方程為y=-（x-4）與y=x聯(lián)立，可得M（2，2），
∴△F₁MF₂的面積為$\frac{1}{2}•8•2$=8，
故選：C．

點評 本題考查求△F₁MF₂的面積，考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．