Question

15．定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)?x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0時(shí)，恒有f（x）＜0．
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明f（x）是減函數(shù)；
（3）若f（3^x•k）+f（3^x-9^x-2）＞0對(duì)?x∈R恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=0可得f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，問題得證；
（2）f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)．由條件x＞0時(shí)，恒有f（x）＜0，運(yùn)用單調(diào)性的定義結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）依題意，可求得f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再結(jié)合f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，可求得k•3^x＜-3^x+9^x+2?k＜-1+3^x+$\frac{2}{3x}$恒成立，求得-1+3^x+$\frac{2}{3x}$的最小值即可．

解答 解：（1）證明：令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，
由已知，函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x），
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x），
所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)．
x＞0時(shí)，恒有f（x）＜0，
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，
即為f（x₂）+f（-x₁）＜0，即有f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)；
（3））由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0，
即有f（k•3^x）＞-f（3^x-9^x-2），即f（k•3^x）＞f（-3^x+9^x+2），
因?yàn)閒（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，
所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，即k＜-1+3^x+$\frac{2}{3x}$，
因上式對(duì)于?x∈R恒成立，
只需k小于-1+3^x+$\frac{2}{3x}$的最小值，
由于3^x+$\frac{2}{3x}$≥2$\sqrt{2}$，
所以-1+3^x+$\frac{2}{3x}$≥2$\sqrt{2}$-1，
所以k＜2$\sqrt{2}$-1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．