Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}，滿足a₃=7，a₅+a₇=26．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差中項及a₅+a₇=26可知a₆=13、$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{3}=2$，通過a_n=a₃+（n-3）d計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（1）裂項可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{4n+4n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的首項為a₁，公差為d，
∵a₅+a₇=26
∴a₆=13，$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{3}=2$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{4n+4n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，裂項是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．