Question

8．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點A作斜率為l的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，且以焦點為圓心，與漸近線相切的圓的面積為π，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出直線l和兩個漸近線的交點，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，求得a和b的關(guān)系，根據(jù)c²-a²=b²，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．

解答 解：直線l：y=x+a與漸近線l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
l與漸近線l₂：bx+ay=0交于C（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$，-$\frac{ab}{b+a}$），
∵A（a，0），$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴2×$\frac{{a}^{2}}{b-a}$=-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$+a
∴2a²-b²+3ab=0，
∵以焦點為圓心，與漸近線相切的圓的面積為π，
∴$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
∴b=1，
故選：C．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用．