8.過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左頂點A作斜率為l的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B,C,若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$,且以焦點為圓心,與漸近線相切的圓的面積為π,則此雙曲線的離心率為( 。
A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{5}$C.$\sqrt{10}$D.2$\sqrt{2}$

分析 求出直線l和兩個漸近線的交點,進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$,求得a和b的關(guān)系,根據(jù)c2-a2=b2,求得a和c的關(guān)系,則離心率可得.

解答 解:直線l:y=x+a與漸近線l1:bx-ay=0交于B($\frac{{a}^{2}}{b-a}$,$\frac{ab}{b-a}$),
l與漸近線l2:bx+ay=0交于C(-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$,-$\frac{ab}{b+a}$),
∵A(a,0),$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$,
∴2×$\frac{{a}^{2}}{b-a}$=-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$+a
∴2a2-b2+3ab=0,
∵以焦點為圓心,與漸近線相切的圓的面積為π,
∴$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1,
∴b=1,
故選:C.

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運用能力,能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下結(jié)論:
①AC1⊥平面A1BD;
②直線AC1與平面A1BD的交點為△A1BD的外心;
③若點P在△A1BD所在平面上運動,則三棱錐P-B1CD1的體積為定值.
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A.0個B.1個C.2個D.3個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.如圖,⊙O的半徑為r,MN切⊙O于點A,弦BC交OA于點Q,BP⊥BC,交MN于點P
(Ⅰ)求證:PQ∥AC;
(Ⅱ)若AQ=a,AC=b,求PQ.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-4y≤-3\\ 3x+5y≤25\\ x≥1\end{array}\right.$,則函數(shù)z=2x+y取得最大值與最小值之和是( 。
A.3B.9C.12D.15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a3=6,a5+a7=24.
(Ⅰ)求等差數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前P項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.下列說法正確的是(  )
A.直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面
B.半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)形成球體
C.有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是相互平行的

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.函數(shù)f(x)=2$\sqrt{x}$-$\sqrt{4-x}$的值域為(  )
A.(-2,4)B.[-2,+∞)C.(-∞,4]D.[-2,4]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.已知tanα=$\frac{1}{3}$,tanβ=-$\frac{1}{7}$,且0<α<$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$<β<π,則2α-β的值為( 。
A.-$\frac{π}{6}$B.-$\frac{π}{3}$C.-$\frac{π}{4}$D.-$\frac{3}{4}$π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知sinα=$\frac{2}{3}$,則sin($α-\frac{π}{2}$)=(  )
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$C.-$\frac{\sqrt{5}}{3}$D.±$\frac{\sqrt{5}}{3}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案