Question

20．已知直線1在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcoaα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ（其中坐標(biāo)原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸．取相同單位長度）．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C與直線l相交于不同的兩點M，N，設(shè)P（2，1），求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=2ρcosθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線1的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcoaα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$代入（x-1）²+y²=1，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，能求出|PM|+|PN|的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，
即（x-1）²+y²=1．
（2）把直線1在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcoaα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，
代入（x-1）²+y²=1，
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=t²+2t（cosα+sinα）+1=0，
由△=4（cosα+sinα）²-4＞0，得sinαcosα＞0，又0≤θ＜π，∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴t₁+t₂=-2（sinα+cosα），t₁t₂=1，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=2（sinα+cosα）=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$α+\frac{π}{4}$$∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴|PM|+|PN|的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查線段和取值范圍的求法，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，解題時要注意韋達(dá)定理、三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．