Question

12．設(shè)i是虛數(shù)單位，2、2i、cosα+isinα（0＜α＜π）分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A、B、C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$．
（1）求α的值；
（2）求向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由題意和復(fù)數(shù)的幾何意義可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，由模長公式可得cosα，可得答案；
（2）α求出后，可以得到向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+cosα，sinα），∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴4cosα-2=0，解得cosα=$\frac{1}{2}$，結(jié)合0＜α＜π可得α=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{OA}$=（2，0）；$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
所以：$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{5}{6}π$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的模長公式和夾角公式，涉及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．