10．已知數(shù)列{an}滿足a1=4．a(chǎn)n=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$（n＞1，n∈N+）記bn=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．
（1）試判{bn}是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．
（2）若an=$\frac{{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$（n＞1，n∈N+），能否判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列？

分析 （1）計(jì)算b${\;}_{{\;}_{n}}$-bn-1觀察結(jié)果是否為常數(shù)作出判斷；
（2）計(jì)算$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$觀察結(jié)果是否為常數(shù)作出判斷．

解答 解：（1）∵an=4-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$，∴an-2=2-$\frac{4}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2（{a}_{n-1}-2）}{{a}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}}{2（{a}_{n-1}-2）}$．
∴b${\;}_{{\;}_{n}}$-bn-1=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}}{2（{a}_{n-1}-2）}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2（{a}_{n-1}-2）}$=$\frac{1}{2}$．
∴{bn}是等差數(shù)列．
（2）∵an=$\frac{{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{4{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判定，數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．已知四棱錐S-ABDC各側(cè)面是全等的等腰三角形且腰長(zhǎng)為5cm，頂角45°，求沿棱錐的側(cè)面從A到D的最短路線的長(zhǎng)度．

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1．已知tanα=a，求$\frac{1+sin2α-cos2α}{1+sin2α+cos2α}$的值．

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18．如圖，設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形，A1C與底面垂直．過(guò)點(diǎn)C作平面與四棱柱的側(cè)棱垂直，且分別交A1A于點(diǎn)E，交BB1于點(diǎn)F，交DD1于點(diǎn)G．
（1）證明：面A1CC1⊥面EFCG；
（2）證明：四邊形EFCG為菱形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．已知π＜α＜$\frac{3}{2}$π，且sin2α=$\frac{4}{5}$，則sinα+cosα的值等于-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

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15．（1）“a+c=2b”是“a，b，c成等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件；
（2）“$\frac{a}$+$\frac{c}$=2”是“a，b，c成等差數(shù)列”的充分不必要條件．

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2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{e}^{x+1}-\frac{3}{e}|-a，x≤0}\\{lgx+a，x＞0}\end{array}\right.$（a∈R）．
①若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{3}{e}$＜a≤e-1；
②若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜$\frac{3}{e}$；
③若y=f（x）的圖象與y=kx-a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-$\frac{1}{e}$＜k＜0；
④若y=f（x）的圖象與y=kx-a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則k=-e．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③．

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19．已知四棱錐P-ABCD中，面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，$PA=AD=\frac{1}{2}AB$，M為PB的中點(diǎn)，N、S分別為AB、CD上的點(diǎn)，且$AN=CS=\frac{1}{4}AB$．
（1）證明：DM⊥SN；
（2）求SN與平面DMN所成角的余弦值．

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20．有一名同學(xué)家開(kāi)了小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)某種飲料銷售的影響，記錄了2015年7月至12月每月15號(hào)的下午14時(shí)的氣溫和當(dāng)天賣(mài)出的飲料杯數(shù)，得到如下資料：
日期7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日
攝氏溫度x（℃）36353024188
飲料杯數(shù)y27292418155
改同學(xué)確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選中的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求選取2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；
（2）若選中的是8月與12月的兩組數(shù)據(jù)，根據(jù)剩下的4組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差不超過(guò)3杯，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，請(qǐng)問(wèn)（2）所得到的線性回歸方程是否理想．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}）（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

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