Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{e}^{x+1}-\frac{3}{e}|-a，x≤0}\\{lgx+a，x＞0}\end{array}\right.$（a∈R）．
①若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{3}{e}$＜a≤e-1；
②若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜$\frac{3}{e}$；
③若y=f（x）的圖象與y=kx-a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-$\frac{1}{e}$＜k＜0；
④若y=f（x）的圖象與y=kx-a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則k=-e．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 作出y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)與a的關(guān)系；求出y=kx與y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）的左段圖象相切時(shí)的斜率，結(jié)合圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)與k的關(guān)系．

解答 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx+a的值域?yàn)镽，故f（x）在（0，+∞）上恒有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）=0得|e^x+1-$\frac{3}{e}$|=a，作出y=|e^x+1-$\frac{3}{e}$|（x≤0）和y=lnx+a（x＞0）的函數(shù)圖象如圖所示，
由圖象可知：若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則$\frac{3}{e}$＜a≤e-$\frac{3}{e}$或a=0，故①錯(cuò)誤；
若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則0＜e＜$\frac{3}{e}$，故②正確；
令f（x）=kx-a得，|e^x+1-$\frac{3}{e}$|=kx（x≤0）或kx=lnx+2a（x＞0）．
設(shè)y=mx與y=$\frac{3}{e}$-e^x+1（x＜0）相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{m=-{e}^{{x}_{0}+1}}\\{{y}_{0}=m{x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{e}-{e}^{{x}_{0}+1}}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{e}$．x₀=-2，y₀=$\frac{2}{e}$．
此時(shí)，直線與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；
∴當(dāng)-$\frac{1}{e}$＜k＜0時(shí)，由圖象可知f（x）與y=kx-a有四個(gè)交點(diǎn)，故③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與圖象的關(guān)系，正確畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵，屬于難題．