Question

6．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{FB}$⊥$\overrightarrow{AB}$時(shí)，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，可推算出“黃金橢圓”的離心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在三角形AFB中，分別求出AB，F(xiàn)A，F(xiàn)B，再由勾股定理，結(jié)合離心率公式以及范圍，解方程即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：在三角形AFB中，|FB|=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，|FA|=a+c．
由FB⊥AB，則（a+c）²=（b²+a²）+b²+c²=3a²-c²，
整理得c²+ac-a²=0，即e²+2e-2=0，
解得e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由于橢圓的0＜e＜1，
即有e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查勾股定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．