Question

18．已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=asinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）若a=2，直線l與x軸的交點是M、N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)所給a的值，將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后，根據(jù)圓的性質(zhì)，將所求的最值轉(zhuǎn)化為到圓心的距離；
（2）首先，得到原點普通方程，然后，結(jié)合圓的弦長公式，建立關(guān)系式求解a的值即可．

解答 解：（1）∵a=2，
∴圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴x²+y²=2y，
∴x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，
該圓的圓心為P（0，1），半徑為r=1，
根據(jù)直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，得
4x+3y-8=0．
∴令y=0，得x=2，
∴M（2，0），
∵N是圓C上一動點，則|MN|的最大值為|MP|+r=$\sqrt{5}$+1，
（2）∵圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=asinθ，
∴ρ²=aρsinθ，
∴x²+y²=ay，
∴x²+（y-$\frac{a}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
該圓的圓心為P（0，$\frac{a}{2}$），半徑為r=$\frac{|a|}{2}$，
圓心到直線的距離為d=$\frac{|3×（-\frac{a}{2}）-8|}{5}$
∴2$\sqrt{{r}^{2}-nwxk0jq^{2}}=\sqrt{3}r$，
∴4（r²-d²）=3r²．
∴r²=4d²，
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$=4×$\frac{1}{25}$（$\frac{3}{2}a$+8）²，
∴a=-$\frac{32}{11}$或a=-$\frac{352}{11}$．

點評 本題綜合考查了圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程等知識，考查了圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式，等知識，屬于中檔題，考查了化歸思想在求解數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．